CEnT-S Mathematics: Rasyonel Fonksiyonların Eğimi ve Teğet Denklemi

1. İlk olarak teğet noktasının koordinatlarını bulalım: $x_0 = 1$ için $f(1) = \frac{2(1) – 1}{1^2 + 1} = \frac{1}{2}$. Yani teğet noktası $P(1, \frac{1}{2})$ olur. 2. Bölümün türevi kuralını uygulayalım: $f'(x) = \frac{u’v – uv’}{v^2}$ formülünden; $$f'(x) = \frac{2(x^2 + 1) – (2x – 1)(2x)}{(x^2 + 1)^2} = \frac{2x^2 + 2 – 4x^2 + 2x}{(x^2 + 1)^2} = \frac{-2x^2 + 2x + 2}{(x^2 + 1)^2}$$ 3. $x_0 = 1$ noktasındaki teğetin eğimi $m$ için türevde yerine yazalım: $$m = f'(1) = \frac{-2(1)^2 + 2(1) + 2}{(1^2 + 1)^2} = \frac{-2 + 2 + 2}{2^2} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$$ Bekleyelim! Dikkat: $x=1$ için $f'(1) = 0$ değil, $m = \frac{1}{2}$. Teğet denklemi: $y – y_0 = m(x – x_0) \implies y – \frac{1}{2} = \frac{1}{2}(x – 1) \implies y = \frac{1}{2}x – \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \implies y = \frac{1}{2}x$. Doğru cevap A seçeneğidir.